Seja $G$ um conjunto não vazio e $a, b \in G$. Uma operação $*$ em $G$ é uma função:
$$*: \underset{\ \ \ \ (a,b) \ \ \ \mapsto \ \ \ a*b}{G \times G \rightarrow G} $$
Dizemos que G é fechado para a operação $*$.
Definição:
Seja G um conjunto fechado para uma operação $*$. G é dito um grupo se falem as seguintes propriedades:
(A1) Associatividade: $a*(b*c) = (a*b)*c, \ \forall \ a,b,c \in G;$
(A2) Existência do elemento neutro: $\exists \ e \in G : a*e = a = e*a, \ \forall \ a \in G;$
(A3) Existência do simétrico: $\forall \ a \in G,\ \exists \ a^{-1} \in G : a*a^{-1} = e = a^{-1}*a;$
O par $(G,*)$ é chamado Grupo. E se, além disso, se cumprir o axioma da comutatividade:
(A4) Comutatividade: $a*b = b*a, \forall \ a,b \in G$.
Então $(G,*)$ é chamado de grupo abeliano ou grupo comutativo.
A1) É associativo pois $a+(b+c) = (a+b)+c, \ \forall a,b,c \in \mathbb{Z};$
A2) Existe o elemento neutro: $\exists \ e=0 \in \mathbb{Z} : a+0 = a = 0+a, \ \forall a \in \mathbb{Z};$
A3) Existe o elemento simétrico: $\forall a \in \mathbb{Z},\ \exists \ a^{-1}=-a \in \mathbb{Z} : a+(-a) = 0 = (-a)+a;$
A4) É associativo: $a*b = b*a, \forall a,b \in \mathbb{Z}$.
A4) É associativo: $a*b = b*a, \forall a,b \in \mathbb{Z}$.
Exemplo 2: $(\mathbb{Z},\cdot)$ não é grupo pois falha o axioma do elementro simétrico.
A1) É associativo pois $a \cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c, \ \forall a,b,c \in \mathbb{Z};$
A2) Existe o elemento neutro: $\exists \ e=1 \in \mathbb{Z} : a\cdot 1 = a = 1\cdot a, \ \forall a \in \mathbb{Z};$
A3) Não existe o elemento simétrico: $\forall a \in \mathbb{Z},\ \not\exists \ a^{-1}\in \mathbb{Z} : a \cdot a^{-1} = 1 = a^{-1} \cdot a.$ Observe que apenas os inteiros $\{-1,1\}$ satisfazem a propriedade.
Bom dia, o parabenizo pela iniciativa Douglas, e espero que continue com seu conteúdo sempre, só gostaria de observar que no vídeo na propriedade A3) foi dada a igualdade a elevado a menos igual a menos a, e por isto não entendi o significado dela na apresentação, por que ela foi apresentada assim?
ResponderExcluirBoa noite, meu caro! Vamos lá!
ResponderExcluirSeja $a$ um elemento de um grupo $G$. Se existe um elemento inverso de $a$ o chamaremos de $a^{-1}$. Portanto, a notação $a^{-1}$ significa elemento inverso de $a$. Estamos tratando do grupo $(\mathbb{Z}, +)$, ou seja, o conjunto dos números inteiros munido da operação de adição.
Qual é o elemento neutro para a operação de adição em $\mathbb{Z}$? Ora, o elemento 0, pois se somarmos qualquer elemento $a$ de $\mathbb{Z}$ a 0, o resultado continuará sendo 0. Beleza, agora vc se pergunta, se $a$ for um elemento qualquer de $\mathbb{Z}$, quem será seu inverso? Ora, será aquele elemento que somado com $a$ resulte em 0, correto? E que elemento é esse? Só pode ser $-a$. Nesse sentido, o elemento inverso ( $a^{-1}$) de $a$, nos inteiros, com a operação de adição é $-a$. Portanto, em termos de simbologia:
$$a^{-1} = a \ \text{ para todo } a \in (\mathbb{Z} + )$$