Seja $G$ um conjunto não vazio e $a, b \in G$. Uma operação $*$ em $G$ é uma função:
$$*: \underset{\ \ \ \ (a,b) \ \ \ \mapsto \ \ \ a*b}{G \times G \rightarrow G} $$
Dizemos que G é fechado para a operação $*$.
Definição:
Seja G um conjunto fechado para uma operação $*$. G é dito um grupo se falem as seguintes propriedades:
(A1) Associatividade: $a*(b*c) = (a*b)*c, \ \forall \ a,b,c \in G;$
(A2) Existência do elemento neutro: $\exists \ e \in G : a*e = a = e*a, \ \forall \ a \in G;$
(A3) Existência do simétrico: $\forall \ a \in G,\ \exists \ a^{-1} \in G : a*a^{-1} = e = a^{-1}*a;$
O par $(G,*)$ é chamado Grupo. E se, além disso, se cumprir o axioma da comutatividade:
(A4) Comutatividade: $a*b = b*a, \forall \ a,b \in G$.
Então $(G,*)$ é chamado de grupo abeliano ou grupo comutativo.
A1) É associativo pois $a+(b+c) = (a+b)+c, \ \forall a,b,c \in \mathbb{Z};$
A2) Existe o elemento neutro: $\exists \ e=0 \in \mathbb{Z} : a+0 = a = 0+a, \ \forall a \in \mathbb{Z};$
A3) Existe o elemento simétrico: $\forall a \in \mathbb{Z},\ \exists \ a^{-1}=-a \in \mathbb{Z} : a+(-a) = 0 = (-a)+a;$
A4) É associativo: $a*b = b*a, \forall a,b \in \mathbb{Z}$.
A4) É associativo: $a*b = b*a, \forall a,b \in \mathbb{Z}$.
Exemplo 2: $(\mathbb{Z},\cdot)$ não é grupo pois falha o axioma do elementro simétrico.
A1) É associativo pois $a \cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c, \ \forall a,b,c \in \mathbb{Z};$
A2) Existe o elemento neutro: $\exists \ e=1 \in \mathbb{Z} : a\cdot 1 = a = 1\cdot a, \ \forall a \in \mathbb{Z};$
A3) Não existe o elemento simétrico: $\forall a \in \mathbb{Z},\ \not\exists \ a^{-1}\in \mathbb{Z} : a \cdot a^{-1} = 1 = a^{-1} \cdot a.$ Observe que apenas os inteiros $\{-1,1\}$ satisfazem a propriedade.
